NO SDCITE GRACELI SE TEM:


ENERGIA DIFERENTE DE MASSA,

POIS, ENERGIA É IGUAL AO SDCTIE GRACELI.


MASSA É DIFERENTE DE ESTRUTURA, POIS,

ESTRUTURA = AO SDCITE GRACELI.

POIS, MASSA É UM CONCEITO RELACIONADO COM PESO E FORÇAS, JÁ NESTE SISTEMA [SDCTIE GRACELI] SE USA ESTRUTURA ONDE SE TEM AS DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, AS CATEGORIAS, O SISTEMA DE ESTADOS TRANSICIONAIS DE GRACELI, INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES [SDCTIE GRACELI].

domingo, 14 de junho de 2020

AS ESTRUTURAS E ENERGIAS SÓ MOVEM [MOMENTUM] [FORA DE QUALQUER SISTEMA DE FORÇAS E GEOMETRIAS] CONFORME O SDCITE GRACELI, OU SEJA, NÃO DEPENDE DE FORÇAS, MASSAS, OU MESMO DE ESPAÇO-TEMPO CURVO.

OU SEJA, PARTÍCULAS DENTRO DE PARTÍCULAS, ÍONS, CARGAS, ENERGIAS, VARIAÇÕES DE ENERGIAS NÃO SE MOVEM POR FORÇAS MAS CONFORME SE ENCONTRA NELAS O SDCTIE GRACELI.

CONFORME O  EXPOSTO ABAIXO.


OU MESMO, O TEMPO NÃO EXISTE COMO EM-SI, E O ESPAÇO TAMBÉM VARIA CONFORME O SDCTIE GRACELI.


COMO TAMBÉM ESTRUTURAS [MASSAS E SUBSTÂNCIAS] ESTÃO RELACIONADAS COM O SDCTIE GRACELI.


O MESMO PARA O ESPAÇO, OU SEJA, O ESPAÇO MÍNIMO ENTRE DOIS PONTOS NÃO UMA RETA OU UMA CURVA, MAS SIM, UM SISTEMA DE ENERGIAS, DIMENSÕES E POSICIONAMENTOS, [CONFORME O SDCTIE GRACELI].


POIS, DUAS PARTÍCULAS EMARANHADAS NÃO DEPENDEM DE ESPAÇOS FÍSICOS, MAS DE ESPAÇOS QUÂNTICO, ESTADO QUÂNTICO, E ENTRELAÇAMENTO QUÂNTICO DIMENSIONAL DE GRACELI.


E ESPAÇO QUÂNTICO, ESTADO QUÂNTICO, E ENTRELAÇAMENTO QUÂNTICO ESTÃO RELACIONADOS COM O SDCITE GRACELI.






RELATIVISMO QUÂNTICO DIMENSIONAL GRACELI.


O POSICIONAMENTO E DISTANCIAMENTO ENTRE PARTÍCULAS, ENERGIAS, E FENÔMENOS ALTERAM TODO SISTEMA FÍSICO DENTRO DAS PARTÍCULAS,, 


E QUE TEM AÇÃO DIRETA SOBRE NÚMERO QUÂNTICO, ESTADO QUÂNTICO, ESTRUTURA ELETRÔNICA, NÍVEIS DE ENERGIAS, E ONDAS ESTACIONÁRIAS NAS PARTÍCULAS DENTRO DOS ÁTOMOS,

COM ISTO SE TEM MAIS UM TIPO DE NÚMERO QUÂNTICO, QUE É O NÚMERO QU^NTICO DECA OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI.



SENDO QUE VARIA CONFORME O SDCTIE GRACELI. 


COMO TAMBÉM O TEMPO DE FLUXOS, E SPINS, MOMENTUM DOS FENÔMENOS E ENERGIAS,

OU SEJA SENDO VARIÁVEIS CONFORME O SDCTIE GRACELI E FORMANDO O UNIVERSO DIMENSIONAL QUÂNTICO DE GRACELI.

OU SEJA, SE INCLUI NO SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI.

OU SEJA, DIMENSÕES  DE ESTADOS QUÂNTICOS DE GRACELI.


E CONFORME O SDCTIE GRACELI.




O SDCTIE GRACELI É ATEMPORAL, OU SEJA PODE SE ENCAIXAR EM QUALQUER PARTE DA FÍSICA, QUÍMICA E OUTROS, E INCLUSIVE ALGUNS ALGUMAS TEORIAS E FUNÇÕES QUE AINDA NÃO FORAM FORMULADAS.


QUANDO SE ADICIONA ALGUM TIPO DE ENERGIA EM UM SISTEMA SE MODIFICA TODO SISTEMA DE TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, DINÂMICAS, POTENCIAIS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS DIMENSIONAIS E FENOMÊNICOS TRANSICIONAIS DE GRACELI, E OUTROS, E CONFORME O SDCTIE  GRACELI..

O ESTADO QUÂNTICO DE GRACELI  É RELATIVO POR SER VARIÁVEL AO SISTEMA SDCTIE GRACELI, E É INDETERMINADO PORQUE EM CADA ESTRUTURA, ENERGIA, DIMENSÃO DE GRACELI, CATEGORIA GRACELI SE TEM INTENSIDADES E VARIAÇÕES ESPECÍFICAS, MESMO ESTANDO TODO DENTRO DE UM SISTEMA SÓ, CORPO, OU PARTÍCULA. 


X

⇔  A FÍSICA DIMENSIONAL GRACELI PODE SER UM BRAÇO DA QUÂNTICA, OU MESMO SER UMA RELATIVIDADE FUNDAMENTADA NUMA TERCEIRA QUANTIZAÇÃO DO SDCTIE GRACELI.

ONDE SE VÊ O MUNDO FÍSICO NÃO APENAS POR QUANTUNS DE MATÉRIA, OU RELAÇÕES DE ONDAS E PARTÍCULAS, MAS NUM MUNDO TRANSCENDENTE E DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES CONFORME O SDCTIE GRACELI.

OU SEJA, O UNIVERSO DECADIMENSIONAL TRANSCENDENTE DE GRACELI, E NÃO APENAS DE QUANTUNS DE ENERGIAS, OU MESMO DE RELAÇÕES DE ONDAS PARTÍCULAS, OU DE INCERTEZAS.


EM QUE SE FUNDAMENTA EM :




TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia 

[comprimento de onda (λ).

onde c, velocidade da luz, é igual a .]

X

• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
• X
• CATEGORIAS DE GRACELI
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

O determinante de Slater é uma técnica matemática da mecânica quântica que se usa para gerar funções de onda antissimétricas que descrevam os estados colectivos de vários fermiões e que cumpram o princípio de exclusão de Pauli.

Este tipo de determinantes foram nomeados em referência a John C. Slater, físico e químico teórico americano.

Duas partículas[editar | editar código-fonte]

Para ilustrar o seu funcionamento pode-se considerar o caso mais simples: o de duas partículas. Se ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}}$ e ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{2}}$ são as coordenadas da partícula 1 e da partícula 2 respectivamente, pode-se gerar a função de ondas colectiva ${\displaystyle \Psi }$ como produto das funções de onda individuais de cada partícula. Quer dizer:

${\displaystyle \Psi ({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2})=\chi _{1}({\boldsymbol {x}}_{1})\chi _{2}({\boldsymbol {x}}_{2}).}$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS

Esta expressão é conhecida como o produto de Hartree. De facto, este tipo de função de ondas não é válido para a representação de estados colectivos de fermiões já que esta função de ondas não é antissimétrica ante um intercâmbio de partículas. A função deve satisfazer a seguinte condição

${\displaystyle \Psi ({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2})=-\Psi ({\boldsymbol {x}}_{2},{\boldsymbol {x}}_{1}).}$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS

O produto de Hartree não satisfaz o princípio de Pauli. Este problema poderá ser resolvido se tivermos em conta a combinação linear de ambos os produtos de Hartree

${\displaystyle \Psi ({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2})={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\chi _{1}({\boldsymbol {x}}_{1})\chi _{2}({\boldsymbol {x}}_{2})-\chi _{1}({\boldsymbol {x}}_{2})\chi _{2}({\boldsymbol {x}}_{1})\right],}$

X

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onde foi incluído um factor para que a função de ondas esteja normalizada convenientemente. Esta última equação pode ser reescrita como um determinante, da seguinte forma:

${\displaystyle \Psi ({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2})={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left|{\begin{matrix}\chi _{1}({\boldsymbol {x}}_{1})&\chi _{1}({\boldsymbol {x}}_{2})\\\chi _{2}({\boldsymbol {x}}_{1})&\chi _{2}({\boldsymbol {x}}_{2})\end{matrix}}\right|,}$

X

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conhecido como determinante de Slater das funções ${\displaystyle \chi _{1}}$ e ${\displaystyle \chi _{2}}$. As funções assim geradas têm a propriedade de anular-se si duas das funções de onda de uma partícula forem igual ou, o que é equivalente, dois dos fermiões estejam no mesmo estado quântico. Isto é equivalente a satisfazer o princípio de exclusão de Pauli.

Generalização a ${\displaystyle N}$ partículas[editar | editar código-fonte]

Esta expressão pode ser generalizada sem grande dificuldade a qualquer número de fermiões. Para um sistema composto por ${\displaystyle N}$ fermiões, define-se o determinante de Slater como

${\displaystyle \Psi ({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2},\ldots ,{\boldsymbol {x}}_{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\left|{\begin{matrix}\chi _{1}({\boldsymbol {x}}_{1})&\chi _{1}({\boldsymbol {x}}_{2})&\cdots &\chi _{1}({\boldsymbol {x}}_{N})\\\chi _{2}({\boldsymbol {x}}_{1})&\chi _{2}({\boldsymbol {x}}_{2})&\cdots &\chi _{2}({\boldsymbol {x}}_{N})\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\chi _{N}({\boldsymbol {x}}_{1})&\chi _{N}({\boldsymbol {x}}_{2})&\cdots &\chi _{N}({\boldsymbol {x}}_{N})\end{matrix}}\right|.}$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS

O uso do determinante como gerador da função de ondas garante a antissimetríca com respeito ao intercâmbio de partículas, assim como a impossibilidade de que duas partículas estejam no mesmo estado quântico, aspecto crucial ao se tratar com fermiões.

No método de Hartree-Fock, um único determinante de Slater usa-se como aproximação à função de ondas electrónica. Em métodos de cálculo mais precisos, tais como a interacção de configuração ou o MCSCF, utilizam-se sobreposições lineares de determinantes de Slater.

Em matemática, e mais precisamente em álgebra linear, a fórmula de Cauchy-Binet é uma fórmula que generaliza o teorema de Binet. A fórmula é útil no cálculo do determinante do produto de duas matrizes em um caso mais geral que aquele considerado no teorema de Binet.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja ${\displaystyle R}$ um anel comutativo possuindo elemento multiplicativo idêntico, isto é, um anel comutativo com unidade. Sejam ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ matrizes em ${\displaystyle \operatorname {Mat} _{m,n}(R)}$ e ${\displaystyle \operatorname {Mat} _{n,m}(R)}$, respectivamente. Se ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{n,m}}$ denota o conjunto de ${\displaystyle m}$-tuplas estritamente crescentes com componentes em ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$, das quais há ${\displaystyle \textstyle {\operatorname {card} ({\mathcal {I}}_{n,m})={\binom {n}{m}}}}$, e se ${\displaystyle A_{m,I}\in \operatorname {Mat} _{m,m}(R)}$ é obtida de ${\displaystyle A}$ quando selecionadas as colunas de acordo com ${\displaystyle I}$, e ${\displaystyle B_{I,m}}$ é obtida de ${\displaystyle B}$ selecionando linhas similarmente, então

${\displaystyle \det {AB}=\sum _{I\in {\mathcal {I}}_{n,m}}\det(A_{m,I})\det(B_{I,m})}$,

X

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se ${\displaystyle n\geq m}$ e ${\displaystyle \det(AB)=0}$ caso contrário.

Prova[editar | editar código-fonte]

Se ${\displaystyle I=(i_{1},\ldots ,i_{m})}$ está em ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{n,m}}$, escreveremos ${\displaystyle e_{I}=(e_{i_{1}},e_{i_{2}},\ldots ,e_{i_{m}})}$, ${\displaystyle {\widetilde {I}}=\{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{m}\}}$. Consideraremos um elemento de ${\displaystyle R^{n}}$ como uma matriz em ${\displaystyle \operatorname {Mat} _{1,n}(R)}$. Se ${\displaystyle m}$ é um inteiro positivo, escreveremos ${\displaystyle \{k\mid (k\in \mathbb {Z} )\,\&\,(1\leq k\leq m)\}=[m]}$.

A multilinearidade alternada de ${\displaystyle \det :\underbrace {R^{k}\times R^{k}\times \cdots \times R^{k}} _{k{\text{ copias}}}\rightarrow R}$ para um anel 

X

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comutativo com unidade será usada. Para ver por que ${\displaystyle \det }$ detém essa propriedade, dada uma função ${\displaystyle [k]\times [k]\rightarrow R:(i,j)\mapsto a_{i,j}}$, i.e. uma matriz em ${\displaystyle \operatorname {Mat} _{k,k}(R)}$, para a qual existem ${\displaystyle r,s\in [k]}$ com ${\displaystyle r\neq s}$ e ${\displaystyle a_{r,i}=a_{s,i}}$ para todo ${\displaystyle i\in [k]}$, note que temos a partição do conjunto ${\displaystyle \operatorname {Sym} (k)=\operatorname {Alt} (k)\sqcup {\big (}\!\operatorname {Alt} (k)\cdot (r\,\,\,s){\big )}}$. Daí, uma vez que toda permutação em ${\displaystyle \operatorname {Alt} (k)\cdot (r\,\,\,s)}$ tem sinal ${\displaystyle -1}$, temos

${\displaystyle \sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} (k)}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{1,\sigma (1)}a_{2,\sigma (2)}\ldots a_{k,\sigma (k)}=\sum _{\beta \in \operatorname {Alt} (k)}(a_{1,\beta (1)}\ldots a_{r,\beta (r)}\ldots a_{s,\beta (s)}\ldots a_{k,\beta (k)})-\sum _{\beta \in \operatorname {Alt} (k)}(a_{1,\beta (1)}\ldots a_{r,\beta (s)}\ldots a_{s,\beta (r)}\ldots a_{k,\beta (k)})}$.

X

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Pela comutatividade de ${\displaystyle R}$,

${\displaystyle \sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} (k)}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{1,\sigma (1)}a_{2,\sigma (2)}\ldots a_{k,\sigma (k)}=\sum _{\beta \in \operatorname {Alt} (k)}{\big (}a_{r,\beta (r)}a_{s,\beta (s)}-a_{r,\beta (s)}a_{s,\beta (r)}{\big )}\!\!\!\!\prod _{j\in [k]\smallsetminus \{r,s\}}\!\!\!\!a_{j,\beta (j)}}$,

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e um vez que ${\displaystyle a_{r,\beta (s)}=a_{s,\beta (s)}}$, ${\displaystyle a_{s,\beta (r)}=a_{r,\beta (r)}}$, a soma se reduz de fato a zero. Que ${\displaystyle \det }$ é multilinear é imediato.

Voltando à prova da fórmula de Cauchy-Binet:

Fixe ${\displaystyle A\in \operatorname {Mat} _{m,n}(R)}$ e defina a aplicação ${\displaystyle S_{A}:\underbrace {R^{n}\times R^{n}\times \cdots \times R^{n}} _{m{\text{ copias}}}\to R}$ por ${\displaystyle S_{A}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=\det {\big (}A\cdot (x_{1}^{\textsf {T}}\quad x_{2}^{\textsf {T}}\quad \ldots \quad x_{m}^{\textsf {T}}){\big )}}$. Faça ${\displaystyle y_{r}={\textstyle {\sum _{j_{r}=1}^{n}b_{r,j_{r}}e_{j_{r}}}}}$ e ${\displaystyle B={\big (}y_{1}^{\textsf {T}}\quad y_{2}^{\textsf {T}}\quad \ldots \quad y_{m}^{\textsf {T}}{\big )}}$, de forma que ${\displaystyle \det(AB)=S_{A}(y_{1},\ldots ,y_{m})}$. Note que ${\displaystyle \det(A_{m,I})=S_{A}(e_{I})}$. Vê-se que a aplicação ${\displaystyle S_{A}}$ é multilinear alternada, logo

${\displaystyle S_{A}(y_{1},\ldots ,y_{m})=\sum _{(j_{1},j_{2},\ldots ,j_{m})}b_{1,j_{1}}b_{2,j_{2}}\ldots b_{m,j_{m}}S_{A}(e_{j_{1}},e_{j_{2}},\ldots ,e_{j_{m}})}$.

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Se ${\displaystyle m>n}$, haverá repetição em toda lista ${\displaystyle (e_{j_{1}},e_{j_{2}},\ldots ,e_{j_{m}})}$; tendo em vista a alternância de ${\displaystyle S_{A}}$, segue que ${\displaystyle \det(AB)=S_{A}(y_{1},\ldots ,y_{m})=0}$.

Se ${\displaystyle n\geq m}$, a soma se estende sobre o conjunto de todas as ${\displaystyle m}$-tuplas com entradas distintas. Nesse conjunto podemos declarar duas ${\displaystyle m}$-tuplas equivalentes quando uma puder ser obtida a partir da outra por meio de uma permutação das entradas de uma delas. Trata-se de uma relação de equivalência, que particiona portanto esse conjunto. Cada classe de equivalência intersecta ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{n,m}}$ em um, e apenas um, elemento; os outros elementos de uma classe são obtidos a partir deste representante por meio de permutações das entradas, e toda permutação em ${\displaystyle m}$ símbolos ocorre uma única vez, isto é, toda classe de equivalência está em bijeção com ${\displaystyle \operatorname {Sym} (m)\cong \operatorname {Sym} ({\widetilde {I}})}$. Se ${\displaystyle I}$ e ${\displaystyle J}$ estão relacionados por meio de uma permutação ${\displaystyle \sigma }$, então por alternância de ${\displaystyle S_{A}}$, vale ${\displaystyle S_{A}(e_{I})=\operatorname {sgn}(\sigma )S_{A}(e_{J})}$. Essas observações nos levam a

${\displaystyle S_{A}(y_{1},\ldots ,y_{m})=\sum _{I\in {\mathcal {I}}_{n,m}}\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} ({\widetilde {I}})}b_{1,\sigma (i_{1})}b_{2,\sigma (i_{2})}\ldots b_{m,\sigma (i_{m})}S_{A}(e_{\sigma (I)})=\sum _{I\in {\mathcal {I}}_{n,m}}\left(\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} ({\widetilde {I}})}\operatorname {sgn}(\sigma )b_{1,\sigma (i_{1})}\ldots b_{m,\sigma (i_{m})}\right)\!S_{A}(e_{I})}$.

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Mas

${\displaystyle \det({B_{I,m}}^{\!\!\!{\textsf {T}}})=\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} ({\widetilde {I}})}\operatorname {sgn}(\sigma )b_{1,\sigma (i_{1})}\ldots b_{m,\sigma (i_{m})}}$,

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e como uma matriz quadrada e sua transposta têm o mesmo determinante, fica provada a fórmula. Que o determinante preserva produtos entre matrizes quadradas de mesma dimensão ${\displaystyle m}$ é consequência imediata, pois em tal caso ${\displaystyle {\mathcal {I_{m,m}}}=\{I_{0}=(1,2,\ldots ,m)\}}$, reduzindo a soma a ${\displaystyle \det(A_{m,I_{0}})\det(B_{I_{0},m})=\det(A)\det(B).}$ A fórmula também implica que para qualquer matriz ${\displaystyle C\in \operatorname {Mat} _{m,n}(R)}$, ${\displaystyle n\geq m,}$ com entradas em um anel comutativo com unidade, ${\displaystyle \det(CC^{\textsf {T}})}$ é uma soma de quadrados; de fato, é a soma dos quadrados dos menores de ${\displaystyle C}$ de ordem ${\displaystyle m}$.

A regra de Cramer é um teorema em álgebra linear, que dá a solução de um sistema de equações lineares em termos de determinantes. Recebe este nome em homenagem a Gabriel Cramer (1704 - 1752).^[1][2]

Se ${\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}}$ é um sistema de ${\displaystyle n}$ equações e ${\displaystyle n}$ incógnitas. (Onde ${\displaystyle A}$ é a matriz de coeficientes do sistema e o seu determinante é diferente de zero, ${\displaystyle {\vec {x}}}$ é o vetor coluna das incógnitas e ${\displaystyle {\vec {b}}}$ é o vetor coluna dos termos independentes)

Então ${\displaystyle \forall j,1\leq j\leq n}$, a solução do sistema ${\displaystyle x_{j}}$ é dada por:

${\displaystyle x_{j}={\left|A_{j}\right| \over \left|A\right|}={det(A_{j}) \over det(A)}}$

X

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Em que Aj é a matriz que se obtém da matriz A substituindo a coluna j pela coluna dos termos independentes b.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Sejam os vetores ${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$ e ${\displaystyle {\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}}$ e a matriz ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}}$.

Seja ainda a matriz ${\displaystyle A_{j}}$, obtida pela substituição da coluna ${\displaystyle j}$ pelo vetor ${\displaystyle {\vec {b}}}$, tal que

${\displaystyle A_{j}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1j-1}&b_{1}&a_{1j+1}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\ddots &&&&&\vdots \\\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\\vdots &&&\ddots &&&\vdots \\\vdots &&&&\ddots &&\vdots \\\vdots &&&&&\ddots &a_{n-1n}\\a_{n1}&\cdots &a_{nj-1}&b_{n}&a_{nj+1}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}}$.

Usando as propriedades da multiplicação de matrizes:

${\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}\Leftrightarrow A^{-1}A{\vec {x}}=A^{-1}{\vec {b}}\Leftrightarrow I{\vec {x}}=A^{-1}{\vec {b}}\Leftrightarrow {\vec {x}}=A^{-1}{\vec {b}}}$

então:

${\displaystyle {\vec {x}}=A^{-1}{\vec {b}}={\frac {(\operatorname {Adj} A)}{\left|A\right|}}{\vec {b}}}$

X

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Sejam:

${\displaystyle A^{-1}{\vec {b}}=p_{jk}}$

${\displaystyle (\operatorname {Adj} A)={\frac {A_{pl}^{\prime }}{A_{pl}^{\prime }}}=A_{lp}}$

Portanto:

${\displaystyle A^{-1}{\vec {b}}=p_{jk}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {A_{ji}^{\prime }}{\left|A\right|}}b_{ik}={\frac {\sum _{i=1}^{n}A_{ij}b_{i}}{\left|A\right|}}=_{\rm {(1)}}{\left|A_{j}\right| \over \left|A\right|}}$

X

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(1) Recordando a definição de determinante, o somatório definido acumula a multiplicação do elemento adjunto o cofator da posição ij, com o elemento i-ésimo do vetor B (que é precisamente o elemento i-ésimo da coluna j, na matriz ${\displaystyle A_{j}}$

Em matemática, a resultante de dois polinômios mônicos ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ sobre um corpo ${\displaystyle k}$ define-se como o produto:

${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=\prod _{P(x)=0}\prod _{Q(y)=0}(y-x),\,}$

X

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das diferenças de suas raízes, de onde ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ tomam valores no fecho algébrico de ${\displaystyle k}$. Para polinômios não-mônicos com coeficientes dominantes ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$, respectivamente, o produto acima é multiplicado por

${\displaystyle p^{\deg Q}q^{\deg P}.\,}$

X

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Computação[editar | editar código-fonte]

• A resultante é o determinante da matriz de Sylvester.

• O produtório anterior pode ser reescrito como

${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=\prod _{Q(y)=0}P(y)\,}$

X

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e esta expressão permanece invariante sem ${\displaystyle P}$ reduz-se o módulo ${\displaystyle Q}$.